(11) If  a² + b² + c²  =  r²  and  a  =  r cos A sin B,  b  = r sin A sin B, find the value of c.

Soln. a² + b²  =  r² cos² A sin² B + r² sin² A sin² B

=  r² sin² B (cos² A + sin² A )  =  r² sin² B

Now,  a² + b² + c²  =  r²   ⇒   c²  =  r² – ( a² + b² )

∴ c²  =  r² – r² sin² B  =  r² ( 1 – sin² B )  =  r² cos² B

Hence,  c  =  r cos B.

(12) Evaluate  :

(i)  sin 89^o cos 29^o – cos 89^o sin 29^o

(ii)  cos 38^o cos 22^o – sin 38^o sin 22^o

(iii)  cos 80^o cos 50^o + sin 80^o sin 50^o

(vi)  sin 26^o cos 19^o + cos 26^o sin 19^o

Soln. (i)  sin 89⁰ cos 29⁰ – cos 89⁰ sin 29⁰  =  sin ( 89⁰ – 29⁰ )  =  sin 60⁰  =  .

[ ∵ sin α cos β – cos  sin β =  sin (α – β ) ]

(ii)  cos 38⁰ cos 22⁰ – sin 38⁰ sin 22⁰ =  cos ( 38⁰ + 22⁰ )  =  cos 60⁰  =

[∵cos α cos β – sin α sin β  =  cos (α + β ) ]

(iii)  cos 80⁰ cos 50⁰ + sin 80⁰ sin 50⁰  =  cos ( 80⁰ – 50⁰ )  =  cos 30⁰  =  .

[∵cos α cos β + sin α sin β  =  cos (α – β ) ]

(iv)  sin 26⁰ cos 19⁰ + cos 26⁰ sin 19⁰  =  sin ( 26⁰ + 19⁰ )  =  sin 45⁰  =  .

[∵sin α cos β + cos α sin β =  sin (α + β ) ]

(13) Find  the values of tan 15^o.

Soln. tan 15⁰  =  tan ( 60⁰ – 45⁰ )  =      = 

(14) If  x  =  a sinα  and  y  =  b tanα,  prove that :   =  1.

Soln. Clearly,    =  cosecα   and   =  cotα.

Squaring and subtracting, we get :

  =  ( cosec²α – cot²α )  =  1.

(15) If  α  and  β  are the angles lying  in the second quadrant and  α < β, then which one of the following is true ?

( a )  sin α < sin β         ( b )  sin α > sin β         ( c )  sin α  =  sin β.

Soln. In  2^nd quadrant  sin θ  decreases as  θ  increases.

∴  α < β  ⇒  sin α > sin β.

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