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Calculus

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☼ $\left|x\right|$ = $\left\{\begin{matrix}x\ :\ x\geq0\\-x\ :\ x<0\\\end{matrix}\right.$

☼ $\sqrt{x^2}$ = $\left\{\begin{matrix}x\ :\ x\geq0\\-x\ :\ x<0\\\end{matrix}\right.$

☼ $\left|{x}+y \right| \leq \left|{x} \right| + \left|{y} \right| ; \forall x, y \in R$

☼ $\left|{x} \right| < a \Leftrightarrow - a < x < a ; x \in R , a \in R^+$

☼ $\left|{x}-a\right| < \delta \Leftrightarrow 0 \leq \left|{x}-a\right| < \delta$

$\Leftrightarrow a - \delta < x < a + \delta ; x, a \in R , \delta > 0$

☼ 0 < $\left|{x}-a\right| < \delta \Leftrightarrow a - \delta < x < a + \delta ;$ $x \neq a$ and $x, a \in R , \delta > 0$