☼ Lemma :

Limit  of  a  Function

1. Neighbourhood of a  =  ( b, c )  ;  Where   a ∈ ( b, c )
2. δ –  Neighbourhood  of  a=   N(a ,δ)

=   (a-δ,a+δ)

=   { x /   a – δ <  x  <  a + δ ;  x ∈ R }

=   { x /   |x-a| < δ ;  x ∈ R }

=   { x /  0 ≤  |x-a| < δ ;  x ∈ R }

3. Deleted δ – Neighbourhood  of  a

Punctured  δ –  Neighbourhood  of   a =   N^*(a ,δ)

=   N(a ,δ)  –  {a}

=   (a-δ,a+δ)  –  {a}

=   { x /   a – δ <  x  <  a + δ  ;  a ≠ x ∈ R }

=   { x /  0  <  |x-a| < δ ;  x ∈ R }

4. If ,  then  N(a , )   ⊂   N(a , )

5. N(a ,δ) ∩ N(b, δ)  =     ⟺  δ ≤       ;     Where   δ >  0

6. f (x)    =    l

⇔∀  ε > 0,   ∃  δ > 0   ∍

        a – δ <  x  <  a + δ,    x ≠ a ,   x ∈ ⇒ l  – ε  <  f (x)  <  l  +

⇔∀  ε  > 0,   ∃  δ > 0   ∍

        0  <  |x-a| < δ ,   x ∈   ⟹ |f(x)-l|  < ε

7. f (x) =    l          (  Left  hand  limit )

⇔∀ ε  > 0,   ∃  δ  > 0   ∍

        x ∈ ( a – δ,  a ) ,   x ∈    ⇒     < ε

⇔ ∀ ε   > 0,   ∃  δ > 0   ∍

        a – δ <  x  <  a,   x ∈    ⇒   f (x)  ∈  N( l , ε)

8. f (x) =    l          (  Right  hand  limit ) 

⇔ ∀ ε  > 0,   ∃  δ > 0   ∍

        x ∈ ( a , a + δ) ,   x ∈      < ε

⇔ ∀ ε   > 0,   ∃  δ > 0   ∍

        a  <  x  <  a + δ,   x ∈    ⇒   f (x)  ∈  N( l , ε)

9. Necessary and Sufficient  Condition   for  Existence  of        f (x)

If       f (x)    and      f (x)   exists

                  and  if      f (x)    =       f (x) ,   then       f (x)  exists.

↦ In this case,     f (x)  =        f (x)      =       f (x)

↦ And  if      f (x)      exists,   then   its  limit  is  unique ( one and only one ).

10. If f (x) =  k ,  then     f (x)  =   k          or          k   =   k
11. Working Rules of  Limit :

If     f (x)    and      g (x)   exists,  then

↦      [ f (x)  ±  g (x) ]     =       f (x)  ±         g (x)

↦    k f (x)   =  k  ·    f (x) ,    k   R

↦    [ f (x)  ·  g (x) ]     =       f (x)     ·       g (x)

↦       =       ;   Where     g (x)    ≠ 0

12.    ;     n ∈ R

13.    =  ;     n ∈ R

14.      =  1          or   

15.             OR      

16.         or   

17.      OR      

18. f is  Continuous  function  on  every  a ∈ R   ⇔      f (x)    =    f (a)

↦ Every Trigonometry Function  and Inverse Trigonometry Function  is Continuous on R.

19. If f and  g  are  Continuous  functions  on  R   ( or every  a ∈ R ), then    f  ±  g ,  f  ·  g   and   ( Where, g (a)  ≠ 0 )  are  also Continuous functions.
20. L’Hospital’s Rule :–

If  we substitute x = a in both numerator (f ) and denominator (g) and we get the indeterminate form

(  i.e.  = or  or ∞ × 0 or ∞ – ∞ or  0⁰ or  or ),

then taking derivative of  both numerator and denominator separately  w. r. t. x. And again substitute x = a and check its value. If  we get again the indeterminate form, then again take derivative and so on. Continue the procedure till the required value is reached.

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