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Indefinite  Integration

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Indefinite  Integration

I. If for the  function  g (x)  defined  on  interval  I ⊂  R ,

∀  x  ∈  I ,  \frac{d}{dx} g ( x )   =  f (x)   ⇔  \int{f\left(x\right)\ dx} =   g ( x )  +   c

;  Where,  c  =  arbitrary  constant

II If f is  integrable  on  I  =  ( a , b ) ⊂ R  and  ∀ x ∈  I ,  then  f  is  continuous  on ∀ x

III. Working  Rules : –

If  f   and   g   are  integrable  on  I  =  ( a , b ) ⊂  R   and  ∀ x ∈ I ,   then

  1. \int{\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]\ dx} = \int{f\left(x\right)\ dx} ±  \int{g\left(x\right)\ dx}

     2. \int{k\ f\left(x\right)\ dx=k\ \int{f\left(x\right)\ dx}}

  1. If f :  I  → R   is  continuous  with   a ≠ 0    and   \int{f\left(x\right)\ dx}  =  F (x)  +  c  ,  then \int{f\left(ax+b\right)\ dx} =  \frac{1}{a} F (ax+ b)  +  c
  2. If f  and    are   continuous  functions  (  n ≠ 1,  f (x) >  0  &  f^{'} (x) ≠ 0  ) ,  then  \int{\left[f\left(x\right)\right]^n\ f^\prime(x)\ dx}  =   n+1n+1   +     c
  3. If f  is   continuous  on  [ a , b ] , f^{'}  is  differentiable  on  ( a , b )  and  f^{'}  is  also continuous  (  f (x) ≠  0  &  f^{'} (x) ≠ 0  )  ,  then   ∀ x  ∈  [ a , b ]

\int{\frac{f^\prime(x)}{f(x)}\ dx} =  log \left|f(x)\right|   +  c

  1. Integration by  Parts : – 

If  u  is  differentiable  and  v  is  integrable,  then

\int{u \ \ v\ \ dx}   =    u \int{\ \ v\ \ dx}   –    \int{\left[\frac{du}{dx}\int{\ v\ dx}\right]\ dx}   +    c

 Choice  of  u  are  taken  in  the  order  of     L I A T E 1  : –

L = Logarithm  e.g.    log 2x + 3 ,   log x    etc.

I = Inverse Trigonometry Functions  e.g.    sin-1 x ,  tan x     etc.

A = Arithmetic Functions e.g.    2x + 3 ,  5 x3 – 4 x2 + 7x  – 9    etc.

T = Trigonometry  Functions e.g.    sin x,  cos x     etc.

E = Exponential Functions e.g.    4^{3x+5} ,  ex

1 =1

  1. \int{e^x\ \left[\ f\left(x\right)+\ f^\prime\left(x\right)\ \right]dx} = e^x\ f(x) + c

IV Standard  Integrals : –

  1. \int{\ x^n\ dx} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c            ;      n ≠  – 1   &    x  ∈ R^+
  2. \int{\ 0\ \ dx} = c ,

\int{\ 1\ \ dx} = x + c  &

\int{\frac{1}{\sqrt x}\ \ dx} = 2\sqrt x + c

  1. \int{\ \frac{1}{x}\ \ dx}  =    log \left|x\right| + c       ;      x   ∈   R  –  { 0 }
  2. \int{\ a^x\ \ dx} =    \frac{a^x}{\log{a}} + c         ;       x   ∈   R         &       a ∈R^+ –  { 1 }
  3. \int{\ e^x\ \ dx} = e^x + c         ;       x   ∈   R
  4. \int{cos\ x\ dx} = sin x + c

\int{sin\ x\ dx} = - cos x + c

  1. \int{{sec}^2\ x\ dx} =     tan  x    +    c

\int{{cosec}^2\ x\ dx} =     –  cot  x    +    c

  1. \int{\ secx\times t a n x\ dx}=    sec  x    +    c

\int{\ cosecx\times c o t x\ dx}= - cosec x + c

  1. \int{\frac{1}{x^2-a^2}\ dx} =  \frac{1}{2a} log \left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c       ;     ± a  ≠  x  ∈  R

 

12. \int{\frac{1}{a^2-x^2}\ dx} = \frac{1}{2a} log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|    +      c     ;    ± a ≠   x ∈ R

13. \int{\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\ dx} = log  \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right| + c

14. If  x \in \left(\left|-a\right|,\ \ \left|a\right|\ \ \right)  ,     then

\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx}  =    sin-1\left(\frac{x}{a}\right)    +    c   =   –  cos-1 \left(\frac{x}{a}\right)  +   c    ;   a   >   0

                                    =   – sin-1 \left(\frac{x}{a}\right) +    c   =     cos-1  \left(\frac{x}{a}\right)   +   c    ;   a   <   0

15. If |x | >   |a|   >   1 ,   then

\int{\frac{1}{\left|x\right|\ \sqrt{x^2-a^2}}\ dx}   =  \frac{1}{a} sec-1\left(\frac{x}{a}\right)   +    c    =   –  cosec-1 \left(\frac{x}{a}\right) +   c

16. \int{\frac{1}{x^2+\ a^2}\ \ dx} = \frac{1}{a} tan-1\left(\frac{x}{a}\right)  +   c   =    – \frac{1}{a} cot-1\left(\frac{x}{a}\right)  +    c

17. \int\tan{\ \ x\ dx} = log \left|\sec{\ \ \ x}\right| + c     ;     x   ≠   ( 2k  +  1 ) \frac{\pi}{2},  k  ∈  Z

18. \int\cot{\ \ x\ dx} = log \left|sin\ {x}\right|    +    c       ;      x   ≠   k π      ,     k  ∈  Z

19. \int cosec{\ \ x\ dx} = log \left|\tan{\frac{x}{2}}\right|   +    c      ;        x   ≠   2 k π   ,     k  ∈  Z

=   log  \left|cosec\ x-cot\ {x}\right|   +    c

  1. \int\sec{\ \ x\ dx} = log  \left|\tan{\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}\right|    +    c     ;   x ≠ 2 k π ,    k  ∈  Z

=   log \left|sec\ {x}+\tan{x}\right| + c

  1. \int{\sqrt{x^2+a^2\ }\ \ dx} =  \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2}  +  \frac{a^2}{2} log \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+   c
  2. If x^2 > a^2 ,     then

\int{\sqrt{x^2-a^2\ }\ \ dx}   =  \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}  – \frac{a^2}{2} log \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|  +  c

  1. If |x | <   a  ,     then

\int{\sqrt{a^2-x^2\ }\ \ dx}  =  \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}   +    \frac{a^2}{2} sin-1 \left(\frac{x}{a}\right)     +     c

  1. \int{e^{ax}\sin{bx\ \ }dx} = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}  (  a  sin  bx   –   b cos  bx  )    +    c

=  \frac{e^{ax}\ sin\ (bx-\theta)}{\sqrt{a^2+b^2}}  +  c   ; θ  =  tan-1 \left(\frac{b}{a}\right)&  a, b≠ 0

 

  1. \int{e^{ax}\ cos\ bx\ \ dx} =  \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}  (  a  cos  bx   +   b sin  bx  )    +    c

=  \frac{e^{ax}cos(bx-\theta)}{\sqrt{a^2+b^2}}  + c   ; θ  =  tan-1 \left(\frac{b}{a}\right) &  a, b≠ 0

V Trigonometric  Substitutions  : –

Integral                                   Substitution

  1. \sqrt{a^2-x^2} → x =  a  sin θ   OR    x  =  a  cos θ
  2. \sqrt{x^2-a^2} → x =  a  sec θ   OR    x  =  a  cosec θ
  3. \sqrt{x^2+a^2} → x =  a  tan θ   OR    x  =  a  cot θ
  4. \sqrt{a-x} → x =  a  sin θ   OR    x  =  a  cos  2θ
  5. \sqrt{a+x} → x =  a  tan θ   OR    x  =  a  cos  2θ
  6. \sqrt{2ax-x^2} → x =  2a  sin θ   OR    x  =  2a  cos θ
  7. \sqrt{2ax+x^2} → x =  2a  tan θ   OR    x  =  2a  cot θ
  8. \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} → x =  a  cos  2θ

Definite  Integration

 

I \int_{a}^{b}{f(x)\ dx}  =    \begin{matrix}lim\\n\rightarrow\infty\\\end{matrix}  \frac{b-a}{n} \ \ \sum_{i=1}^{n}{f(a+ih)}     ;    Where,   h  =  \frac{b-a}{n}

=    \begin{matrix}lim\\h\rightarrow0\\\end{matrix}       h  \sum_{i=1}^{n}{f(a+ih)}               ;    Where,  h  =  \frac{b-a}{n}

II Some  Basic  Concepts : – 

Here,    f   is  continuous  on   I  =  [ a, b ] .

  1. If \int{f(x)\ dx} =   F ( x )  +   c  ,  then  \int_{a}^{b}{f(x)\ dx}  =   \left [f(x) \right ]_{a}^{b}

=     F ( b )    –    F ( a )

2. \int_{a}^{b}{f(x)\ dx} =    \int_{a}^{b}{f(t)\ dt}

3. \int_{a}^{a}{f(x)\ dx} = 0

4. \int_{a}^{b}{f(x)\ dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)\ dx}

5. If a  <  c  <   b  \large \Rightarrow  \int_{a}^{b}{f(x)\ dx}  =  \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

 

III. Working  Rules : –

If  f   and   g   are  integrable  on  I  =  ( a , b ) ⊂  R   and  ∀ x ∈ I ,   then

1. \int_{a}^{b}{\left[f\left(x\right)\pm g(x)\right]\ dx} =  \int_{a}^{b}{f(x)dx} \pm \int_{a}^{b}{g(x)dx}

2. \int_{a}^{b}{k\ f(x)\ dx\ }=k \int_{a}^{b}{k\ \ f(x)\ dx}

IV Some  Results : –

  1. If   f   is  continuous  on   I  =  [ – a,  a ] ,  then

\int_{-a}^{a}{f(x)\ dx}  =       2  \int_{0}^{a}f\left(x\right)dx;    f   is  even  on  [ – a,  a ]    with   a  ∈  R^{+}

=       0                           ;    f   is  odd   on  [ – a,  a ]    with   a ∈ R^{+}

  1. If   f   is  continuous  on   I  =  [ a ,  b ] ,  then

\int_{a}^{b}{f\left(x\right)\ dx}   =  \int_{a}^{b}{f\left(a+b-x\right)\ dx}

  1. If   f   is  continuous  on   I  =  [ 0 ,  2a ] ,  then

\int_{0}^{2a}f\left(x\right)dx  =    \int_{0}^{a}f\left(x\right)dx   +    \int_{0}^{a}{f\left(2a-x\right)\ dx}

  1. If   f   is  continuous  on   I  =  [ 0 ,  2a ] ,  then

\int_{0}^{2a}{f\left(x\right)\ dx}   =     2  \int_{0}^{a}{f\left(x\right)\ dx}   ;          f ( 2a – x)   =    f (x)

=     0              ;    f ( 2a – x)   =    –  f (x)

 

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