(4) Discuss the nature of the roots of the following equations :

(i) 4x²  +  15x  –  25  =  0

(ii) 4x²  –  12x  +  1  =  0

(iii) 9x²  +  6x  +  1  =  0

(iv) 2x²  –  5x  +  13  =  0

Soln.  (i) D   =    b² –  4 a c

=  ( 15 )² – 4 (4) (– 25)

=  225 + 400

=  625  >  0

Hence,  D > 0  and D is  a perfect square.

The  roots  are  rational  and  distinct.

(ii) D   =    b² –  4 a c

=   ( – 12 )² – 4 (4) (1)

=   144  –  16

=   128  >  0

Hence,  D  >  0   and   D  is  not  a  perfect  square.

The  roots  are  irrational  and  distinct.

(iii) D   =    b² –  4 a c

=   ( 6 )² – 4 (9) (1)

=   36  –  36

=  0

Hence,  D  =  0.

  The  roots  are  rational  and  equal.

(iv) D   =    b² –  4 a c

=   ( 5 )² – 4 (2) (13)

=   25  –  104

=  – 79  <  0

Hence,  D  <  0.

  The  roots  are  conjugate  complex  number.

(5) Form an equation whose roots are 5 and  – 3.

Soln. Here,  ₁  =   5   and  ₁  =  – 3

Required  quadratic  equation  is  :

x² – (₁ +  ₁) x    +  ₁·₁  =   0

x²   –   ( 5 –  3 ) x    +  ( – 15 )  =   0

x²   –   2x   –   15   =   0

(6) Find the values of  k for which   2x² + 3kx + 18  =  0 has real roots.

Soln. For real roots, we must have

D  0.

    b² –  4 a c   0

   (3k) ² –  4 (2) (18)   0

   9 ( k² –  16 )   0

   9 ( k² –  16 )   0

    k² –  16   0

    k  4   or   k  – 4.

   Required set  =  { k  R /  k  4   or   k  – 4 }.

Where,  k² –  16   0

k²   16

k    4

k    4   or  – k    4

k    4   or   k    – 4

Click to see more examples